|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Delen van veeltermen
Er is een driehoekig grondvlak en voor een stapeling van 4 hoog zijn 10 + 6 + 3 + 1 = 20 kogels nodig. Voor deze getallen heb ik al gevondfen dat per laag geldt: 1/2n (n +1) Nu moet ik een formule vinden waarmee ik het aantal kogels kan uitrekenen in een piramide van n lagen hoog. ik heb het al geprobeerd met een Somformule in de vorm Sn = 1/2 n (u1 + u n) = Sn 1/2 n (1 + (1/2n 9n + 1)) maar dan kom ik niet op d (n)= 1/6 n3 = 1/2 n2 + 1/3n en dat is het juiste antwoord. Alleen weet ik dus niet hoe ik daaraan kan komen.
Antwoord
Hoi,
Je hebt het voor een deel correct. Je had het mis waar je Sn=n.(u1+un)/2 veronderstelt. Deze formule geldt enkel voor rekenkundige rijen.
Een andere poging dan maar. Op de i-de laag vinden we Li=i.(i+1)/2=(i2+i)/2 kogels. Als er zo n lagen zijn, dan wil je eigenlijk Pn=sum(Li:i=1..n)=[sum(i2:i=1..n)+sum(i:i=1..n)]/2.
Het stukje sum(i:i=1..n) is een rekenkundige rij en hiervoor vind je makkelijk: sum(i:i=1..n)=n.(n+1)/2
Voor sum(i2:i=1..n) doen we het iets anders omdat er hier geen kant-en-klaar formuletje voor bestaat. We bekijken Sn =(xn-1)/(x-1)=sum(xi:i=0..n-1) zodat x.Sn =x.(xn-1)/(x-1)=sum(xi:i=1..n) en zodat d[x.Sn]/dx=sum(i.xi-1:i=1..n) en uiteindelijk: sum(i.xi:i=1..n)=x.d[x.Sn]/dx. Op dezelfde manier verder rekenend, kunnen we een uitdrukking afleiden voor sum(i2.xi:i=1..n) en wanneer we van beide leden de limiet voor x $\to$1 nemen, vinden we een uitdrukking voor sum(i2:i=1..n).
Deze aanpak laat je toe alle uitdrukkingen van de vorm sk(n)=sum(ik:i=1..n) in gesloten vorm te schrijven. Bij Dr.Math vond ik ooit een andere aanpak hiervoor, gebaseerd op de vaststelling dat sk(n) een veelterm van graad k+1 is in n en de techniek van de onbepaalde coëfficiënten.
Tot slot kan je de formule heel makkelijk afleiden uit de driehoek van Pascal. De opeenvolgende schuine zijden bevatten sommen van de voorgaande zijden. De buitenste bevat enkel 1, de tweede de natuurlijke getallen, de derde de termen van L en de vierde de termen van P. Je kan je onmiddellijk aflezen dat Pn=C(n,3)=n.(n-1).(n-2)/6
Je kan ook best eens zoeken op deze site naar Bolstapeling.
Groetjes,
Johan
(met dank aan Fvl, GM en Anneke voor hun suggesties  )
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
